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冠すと戦士 さん 2006/11/26 00:09

疑問の持ちどころは非常に良いところまで来ましたね。
その教師は、大切な質問を踏み潰してしまっている。実にもったいない。

虚数・無限・近似・次元といった物理的な実態を伴わない
近代数学へと踏み入れる門の第一歩ですね。

色々言われてますが「線」とは概念であり、無理に現実世界で言うと
すれば日向と日陰の「境界線」これは線です。

境界線自身は認識できるがそこに幅はありませんね。

同様に点とは、例えばある円をみたときにその中心点。
中心は存在するが、点を描かない限り面積も長さもありません。

さて、ではその教師の言った線が点の集合であり面は線の集合である
といった意味は何なのか?

それは微分と積分の基礎である「近似」の解説です。
1本の線を細かく細かく切っていったら・・・・それこそ「無限」に
細かく切って行ったなら。
「ほぼ点とみなすことができる」

これが近似です。そこで逆に言えば
「線とは連続した点の集合とみなすことができる」
といえる様になるわけですね。

あくまでみなすことができる「近似できる」だけであり概念である
点をいくつ重ねても点は点です。線にはなりません。
ですが上記のように「考えることが現実世界としては可能である」
程度の意味であると考えれば納得していただけるでしょうか?

同様にある面積をもつ面を細かく細かく切っていくと非常に細い帯
になります。これを「無限」に切っていくと
「ほぼ直線とみなせる(近似できる)」

となるわけです。

これは定理ではなく「微分(積分)にて近似する」という手法の定義です。

こういうモノは数学の世界では沢山ありますよね。
例えば「1/3」=0.33333333333333・・・・・

現実的には完全な1/3は存在しませんが、概念としては存在しますよね。
点や線というのもそういった概念の一つであり、それと近似という手法
を混同することから理解に苦しむというわけです。


蛇足ながらにもう一つ。
(1/3)÷(2/5)=(5/6)

小学生の頃だれでも習った簡単な分数の割り算ですが、2/5を上下
入れ替えて掛け算しましょう、と習いますよね。

でも何故逆数を掛けるのか?この2/5で割るという意味はなになのか?
単純な疑問ではありますが正確に答えるのは難しい問題だと思いませんか?


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